裂项相消十个基本公式 裂项相消十个基本公式推导

裂项相消法中常见的拆项公式

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

如An=1/n(n+1) 这样An=（(n+1)-n)/n(n+1) =1/n -1/(n+1)

裂项相消十个基本公式 裂项相消十个基本公式推导

裂项相消十个基本公式 裂项相消十个基本公式推导

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)。

An=1/n(n+k) k为常数

给分子分母同乘k 即An=k/kn(n+k)=(1/k)(n+k -n)/(n(n+k))

An=1/n(n+k)(n+2k)

k为常数

即An=2k/2kn(n+k)(n+2k)

=(1/2k)(n+2k - n)/n(n+k)(n+2k)

=(1/2k)(1/n(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)

往后4项5项的见得就少了

如出现（An+1 - An)/AnAn+1 也可以考虑将他变成1/An+1 -1/An 然后将1/An看成一个新数列

还有一种就是强行的裂项

An=n(2^n)

设An=Bn+1 - Bn 那么Sn=A1+A2+...+An=(B2-B1）+（B3-B2)+....(Bn+1 - Bn )

=Bn+1 - Bn

观察An后面有个2^n 那么可以肯定Bn 后面也有2^n

直接设Bn=（Kn+T)2^n 那么Bn+1 = (K(n+1)+T)2^(n+1)

把2^(n+1)写成22^n 再把2乘进去就是

Bn+1 = (2K(n+1)+2T)2^n=（2Kn+2K+2T)2^n

An=Bn+1 - Bn =(2Kn+2K+2T -Kn - T)2^n=(Kn+2K+T)2^n

与An对比得

K=1 2K+T=0 所以T=-2

Bn=(n-2)2^n

Sn=Bn+1 - B1 =(n-1)2^（n+1）+2

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

求常见裂项相消公式

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

= 1-1第四个，关键在于(a-b)=(√a-√b）(√a+√b）/(n+裂项相消1)

= n/(n+1)

【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

= [n(n+1)(n+2)]/3

2/n（n+1）=2/n-2/n+1

关于数列裂项相消求和：高中常见的拆项公式有哪些？

这个在证明等数列求和公式时就应用了

（2）1/(2n-1)(2n例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

1)

1/n-1/(n+1)分母通分。。。分母为n（n+1），分子为n+1-n=1，合起来

=1/n(n+1)。所以1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)

2)和上面的一样，1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]分母通分。。。分母为(2n-1)(2n+1)，分子2n+1-2n+1=2，合起来2/(2n-1)(2n+1)，再乘以一个1/2，得到1/(2n-1)(2n+1)

第三个还是一样的就不写了

[1/(a-b)](√a-√b)=(√a-√b）/[(√a-√b）(√a+√b）],消去(√a-√b）剩下1/(√a+√b)

裂相相消，错位相减，倒序相加分别适用于哪些形式的数列？

1分组求和法:

就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等（比）数列，它们的和当然就好求了。

可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式

对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了

2数列累加法

逐累加法

例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an

解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22,a4-a3=23, …an-an-1=2n-1

将以上n-1个式子相加可得

an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1

注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐累加法

求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等数列。

逐商叠乘法

例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an

解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n

将以上n-1个式子相乘可得

an=a1.22+3+4+…+n=2

当n=1时，a1=1满足上式

故an=2 (n∈N)

注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列

3裂项求和：

当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n（n+1）

可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））

然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。

简单的是等数列用倒序相加求和：

1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/12+1/23+1/34+...+1/900

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)(裂项）

=2-1/100

=199/100

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等数列、公d、等数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

四、10、等数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

五、11、等数列的前n项和公式：Sn= Sn==(1/k)(1/n - 1/(n+k) ) Sn=

六、12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

七、13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=Sn=

三、有关等、等比数列的结论

八、14、等数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等数列。

九、15、等数列{an}中，若m+n=p+q，则

十、16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

十一、17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

十二、18、两个等数列{an}与{bn}的和的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等数列。

十三、19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

十四、20、等数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等数列。

十五、21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

十六、22、三个数成等的设法：a-d,a,a+d；四个数成等的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

十七、23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

十八、24、{an}为等数列，则 (c>0)是等比数列。

十九、25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等数列。

二十、26. 在等数列 中：

（1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ，

二十一、27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

二十四、31、倒序相加法求和：如an=

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

二十六、对于其他裂项33、在等数列 中,有关Sn的值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取小值。

在解含的数列值问题时,注意转化思想的应用

5错位相减：

这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。

分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。

裂项相消法常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

Sn=1/12+1/23+.+1/n(n+1)

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,只剩首尾两项）

=1-1/(n+1)

错位相减法

Sn=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn=1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

倒序相加法

Sn=1+2+..+n

Sn=n+n-1+.+2+1

两式相加

2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)

=(n+1)n

Sn=n(n+1)/2

常见的裂项公式

1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

常见的裂项公式：（1）1/n（n+1）=1/n-1/（n+1）。裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，终达到求和的目的。通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

数列（sequenceofnumber），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取值.这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

七年级数学裂项相消法是什么？

（2）若数为 则，

二十五、32、求数列{an}的、小项的方法：裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的（或和）。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是根本的。

裂项的基本公式

裂项法的基本公式为：an=nan-nan-1。

裂项法是一种将一个多项式或方程式分解成若干个较小的部分，从Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n而使问题更容易解决的方法。在裂项法中，基本公式为an=nan-nan-1，其中an表示原多项式的第n项，nan-1表示原多项式的第n-1项，而nan表示经过分解后得到的第n项。

这个公式的原理是将原多项式的每一项都拆分成两个较小的项之，即an=nan-nan-1。通过这种方式，可以将一个复杂的多项式分解为若干个简单的子问题，从而简化问题的求解过程。

裂项法还可以用于解决一些复杂的多项式方程，例如高次方程。通过将方程中的每一项都拆分成两个较小的项之，我们可以将高次方程转化为若干个低次方程，从而更容易地找到解法。

学习数学的技巧=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100(消元）：

1、理解数学概念

数学是一门概念性学科，因此学习数学首先要理解数学概念。学生应该通过多读、多思考、多练习等方式来加深对数学概念的理解，尤其是对于一些抽象的概念，需要通过反复的实例练习来理解。

2、练习解题

数学是一门实践性学科，需要通过大量的练习来掌握解题技巧。学生可以选择一些经典的数学题目进行练习，并在解题过程中注意解题思路、解题方法、解题步骤等方面的总结和归纳。学生还可以通过一些数学竞赛、趣味数学游戏等方式来提高自己的解题能力。

3、建立数学思维

数学是一门逻辑性学科，需要建立数学思维。学生可以通过一些经典的数学问题来培养自己的数学思维，例如一些几何、代数、概率等方面的题目。学生还可以通过参加数学社团、数学建模比赛等方式来锻炼自己的数学思维能力。

裂项相消法

这个在求等比数列求和公式时就用了

1裂项法求和编辑这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.。（1）1/[n(n+1)]=（1/n）-

[1/(n+1)]（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）

n·n!=(n+1)!-n!（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n

基本裂项式

+k)]

分母三个数相乘的裂项公式

2示例编辑【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)

的前n项和.解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）-

[1/(n+1)]（裂项）则

Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）-

[1/(n+1)]（裂项求和）=

1-1/(n+1)=

n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)

的前n项和.解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）则

Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）=

[n(n+1)(n+2)]/3【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3

[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/-1/94）]=1/3(1-1/94)=31/943小结编辑此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：

余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）附：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=

n5、求数列的、小项的方法：①

an+1-an=……

如an=

-2n2+29n-3②

(4倒序相加：an>0)

如an=③

an=f(n)

研究函数f(n)的增减性

如an=

an^2+bn+c(a≠0)6、在等数列

中,有关Sn

的值问题——常用邻项变号法求解：(1)当

a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取值.(2)当

a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取小值.7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。[1]

裂项变成能相消的式子计算

一、基本概念：

裂项相消式子计算：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)。

裂项相消法是把一个数列的每一项裂为两项的，即化An=F(n)-F(n+1)的形式，从而达到数列求和的目的，即得到Sn=F(1)-F(N+1)的形式。具体有等型、无理型、指数型、对数型、三角函数型、阶乘和组合公式型、抽象型、混合型等等。

就是把每项都拆成两项，然后这两项跟前后的有关系，可以消掉。变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。有时候也用于整数。

裂项相消并非凭空捏造，而是可以根据基本原理去构造——即构造为g(n)＝f(n+1)-f(n)的形式。裂项相消为数列求和手段，而非目的。在一些难题中，需要自己去观察，发现终需要什么结果，然后再选择采取什么手段——裂项相消只是数列求和中的一种而已。

裂项相消是由裂项和相消两部分组成，裂项是很容易的（如使用加法or乘法的结合律的逆运算即可），关键是相消。