快速傅里叶变换fft原理_快速傅里叶变换fft例题

傅里叶变换

是一个周期为 的周期函数。离散傅里叶变换 可以看作原信号连续傅里叶变换 的周期延拓，时域的离散化造成了频域的周期化。

傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。

快速傅里叶变换fft原理_快速傅里叶变换fft例题

快速傅里叶变换fft原理_快速傅里叶变换fft例题

快速傅里叶变换fft原理_快速傅里叶变换fft例题

考虑一个在区间 上可积的函数 ，其傅里叶级数为

由欧拉公式 得

代入（1）可得

令则可以得到傅里叶级数的复数形式

傅里叶变换可参考资料：以看作傅里叶级数的连续形式。

首先考虑定义在 上的函数的傅里叶级数展开：

令记

则当 时， ， ， (14) 中的求和变为积分

相应地，(12) 变为

(16) 称为傅里叶变换，记作 ；(15) 称为傅里叶变换的逆变换，记作 。在信号分析中， 称为信号的时域表示， 称为信号的频域表示。

也可以将角频率 替换为自然频率 ，有 ，则

是采样的时间间隔。傅里叶变换只能作用在连续函数上，为此我们引入

为 Dirac 函数。 称为 Dirac 梳子，亦称 Shah 分布，是一个采样函数，常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。

对 作也可以写成矩阵形式傅里叶变换

这里利用了 Dirac 函数的性质 。(22) 即为离散时间傅里叶变换。

下面简单介绍一下采样定理。若原信号 不包含高于 的频率，即 ，则只要采样频率 ，时域采样就能完全重建原信号。

将 在 上展开为傅里叶级数

注意到 时 ，而 ，故 时 ，因此 (24) 可改写为

代入 (23)，得

这里 。(26) 说明原信号的傅里叶变换可以由采样信号确定，进而可以利用傅里叶逆变换重建原信号。

此外，不难发现

其中 。

离散傅里叶变换的逆变换为

直接根据定义计算离散傅里叶变换的复杂度是 。快速傅里叶变换是快速计算离散傅里叶变换及其逆变换的一类数值算法。FFT 通过把 DFT 矩阵分解为稀疏矩阵之积，能够将复杂度降低到 。

在 Python 中可以利用 scipy.fftpack 进行快速傅里叶变换。

matlab中fft（）函数是什么意思？

标志 抽取转置的时候，还要算共轭， 代表埃尔米特

FFT（快速傅里叶变换）是一种实现DFT（离散傅里叶变换）的快速算法，是利用复数形式的离散傅里叶变换来计算实数形式的离散傅里叶变换，matlab中的fft()函数是实现该算法的实现。

一般情况下，我们处理的信号都是离散的。取 在时间上的离散采样

1、FFT的基本思想：

在这思想基础上又开发了高基和分裂基等快速算法，随着数字技术的高速发展，1976年出现建立在数论和多项式理论基础上的维诺格勒傅里叶变换算法(WFTA）和素因子傅里叶变换算法。

它们的共同特点是，当N是素数时，可以将DFT算转化为求循环卷积，从而更进一步减少乘法次数，提高速度。

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。

FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

fft为一阶快速傅里叶变换函数，在数字信号处理中有着广泛的应用，变换结果为复数

Y = fft(X,n)，n为变化点数，一FFT和调制：（待补充）般取2的倍数

例如：

t = 0:0.001:0.6;

y = x + 2randn(size(t));

数字信号处理问题

离散时间傅里叶变换在频域上仍然是连续的。如果把频域也离散化，就得到了离散傅里叶变换。FFT是Fast Fourier Transform(快速傅里叶变换)的简称，这种算法可以减少计算DFT（离散傅里叶变换，关于此更详细的说明见后文）的时间，大大提高了运算效率，并曾经一度被认为是信号分析技术划时代的进步。

数字信号处理课程主要研究用数字序列或符号序列表示信号，并用数字计算方法对这些序列进行处理，以便把这些信号变成符合某种需要的形式，例如对信号进行滤波处理、频谱分析、功率谱估计等。本课程重点讨论确定性数字信号的处理，在此基础上，对随机信号处理进行研究。其主要内容有：（1）离散傅里叶变换（DFT）：DFT基本理论、基本方法、基本性质，利用循环卷积计算线性卷积方法。快速傅里叶变换（FFT）方法。运用FFT对信号进行谱分析，运用FFT计算线性卷积；（2）数字滤波器原理和设计方法：数字滤波器IIR和FIR类型滤波器基本网络结构，冲激不变法、双线性变换法数字滤波器设计方法，数字巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）及椭圆数字滤波器设计方法、步骤及特性。IIR数字滤波器频率变换方法技术，FIR窗函数方法设计滤波器，频率取样方法设计FIR类数字滤波器方法及其特性；（3）离散随机过程：离散随机过程的几个基本特性，功率谱基本性质和计算方法，随机信号通过线性系统；（4）有限长效应：有限长效应引起的误的分类，不同方法表示负数时量化效应的不同影响。信号由于量化所引入的噪声情形，定点、浮点运算中有限长影响的情形，IIR滤波器、FFT中的数字量化效应情形；（5）功率谱估计：估计理论的几个基本概念，自相关、周期图、直接变换谱估计方法的分析、实现。现代谱估计的几个基本方法。

ylabel('振幅');title('N=1024');grid

傅里叶快速变换（FFT）中音频信号的频谱分析

其中

关于对称是由于傅里叶变换的性质决定的。至于每个峰值所对应的实际频率需要转换一下。

示波器的FFT运算就是快速傅里叶变换，通过傅里叶变换可实现实现时域信号和频域信号的转换，展示出时域信号的频率构成。每一个波形都可以被分解成不同频率、幅值正弦波叠加，FFT运算得到的频率点都是方波分出的谐波分量的频率。

例1：x=0.5sin(2pi15t)+2sin(2pi40t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

clf;

fs=100;N=128;

n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5sin(2pi15t)+2sin(2pi40t);

%信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

f=nfs/N; %频率序列

subplot(2,2,1),plot(f,mag);

%绘出随频率变化的振幅

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));

%绘出Nyquist频率之前随频率变化的xlabel('频率/Hz');振幅

%对信号采样数据为1024点的处理

fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;

x=0.5sin(2pi15t)+2sin(2pi40t);

%信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

%求取Fourier变换的振幅

f=nfs/N;

subplot(2,2,3),plot(f,mag);

%绘出随频率变化的振幅

plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));

%绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

根据这个例子套用一下就可以了

fft的全称

参考资料来源：

FFT全称为快速傅立叶变换。

和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

FFT是“Fast Fourier Transformation”的缩写，即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法。

1、快速傅里叶变换，即利用计算机计算离散傅里叶变换(DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FT。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。

2、FFT的基本思想是把原始的N点序列，依次分实对称意味着 ，在复数对称矩阵中，解成一系列的短序列。充分利用DFT计算式中指数因子所具有的对称性质和周期性质，进而求出这些短序列相应的DFT并进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算和简化结构的目的。

3、计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号代表其共轭。

快速傅里叶变换公式

我只是从数学和物理的角度解释了一下，对信号处理和通信中更深层次的应用不是太了解。但是原理是源于数学的。

快速傅里叶变换公式如下：

其中

公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。傅立叶变换在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

：

因FFT是为时序电路而设计的，因此，控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址，并产生各种辅助的指示信号。同时在计算模块的内部，为保证高速，所有的乘法器都须始终保持较高的利用率。这意味着在每一个时钟来临时都要向这些单元输入新的作数。

而这一切都需要控制信号的紧密配合。为了实现FFT的流形运算，在运算的同时，存储器也要接收数据。这可以采用乒乓RAM的方法来完成。这种方式决定了实mag=abs(y);现FFT运算的时间。对于4k作，其接收时间为4096个数据周期,这样FFT的运算时间就是4096个数据周期。

另外，由于输入数据是以一定的时钟为周期依次输入的，故在进行内部运算时，可以用较高的内部时钟进行运算，然后再存入RAM依次输出。

第27课 复数矩阵和快速傅里叶变换

on;

当向量和矩阵是复数时，求两个复向量的内积

subplot(2,2,4)

傅里叶复数矩阵，特殊的快速傅里叶变换(简称FFT)

在计算机经常用到，特别是涉及大数据的时候，它可以很快速的进行傅里叶变换。

做乘法时怎样才能快速用这个 阶方阵做乘法，通常 阶方阵的乘法要算 次，因为有 个非零元素，这是个矩阵，且列向量正交，而 快速傅里叶变换 将原先要进行 次计算缩减到 ，该 底数是 ，这只是简单的 矩阵分解 ，但改变是巨大的

1的共轭为1， 的共轭是

复向量的内积是

复数情况下对应的对称矩阵 ，该叫做埃尔米特矩阵 ，它们的特征值是实数

酋矩阵它与 相似，首先它是 阶方阵，列FFT和滤波器：（待补充）向量正交，有正交的列向量以傅里叶命名

FFT任意波形

2）卷积：

对于任意波形可以用FFT将信号从时域转换的频域，知道了各个频点的信号强度就可以用相应幅值的sin或是cos来拼凑任意信号。但是，这是理论上的，实际上1.现实中无法做n多个信号源。2.由于在离散目标时域信号时的采样频率无法和任意信号中的各个频率分量的频率值保持需要明确的是，不管是用时域还是用频域来表示一个信号，它们代表的都是同一个信号。可以从线性空间的角度理解这一点。同一个信号在不同的表象（或者说基向量）下具有不同的坐标。同一个向量在不同表象下的坐标可以通过一个线性变换联系起来。如果是有限维的空间，这个线性变换可以表示为一个矩阵。而傅里叶变换则是无限维空间不同表象之间的一种变换。举例来说，在量子力学中，一个波函数的坐标表象到动量表象间的变换就是一个傅里叶变换。整数关系，在FFT时会产生频谱泄露。所以再产生的信号其实和原信号是有别的。

扩展资料

任意波形可以用RAM+DAC实现，先在RAM中写入需要的波形数据，然后让RAM中的数据按某一频率输入到DAC中。这种方法可以灵活准确的产生任意波形。

傅里叶分析的用途是什么？傅里叶变换是将时域变为频域，频域变为时域，为什么要这样，这样的目的是什么？

ylabel('振幅');title('N=128');grid

傅里叶分析主要研究函数的傅里叶变换及其性质。又称调和分析。在经历了近2个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。

它是把原始的N点序列，依次分解成一系列的短序列。充分利用DFT计算式中指数因子所具有的对称性质和周期性质，进而求出这些短序列相应的DFT并进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算和简化结构的目的。

傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。

分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有局部紧致阿贝尔群上的调和分析以庞特里亚金对偶性为基石，现已有完整的理论。对于一般的局部紧拓扑群，调和分析的课题是分类其酉表示。主要对象是李群与p-进群。原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。

一些物理系统内，各种信号自身的频率是不变的，但是这种固有频率的特征在时间序列或时间域里是很难被特征化的（通俗点就是很难被确定）。但是傅立叶变换可以通过分离系统内不同频率正余弦信号来获取将这种系统内固有的波频或光谱。理论上讲，就是以正余弦基函数作为微分运算的特征函数，将时间上的线性微分方程的解转化为这些特征函数的线性组合，再从这个线性组合中系数非零的特征函数了解这个系统的信号组成。

数字示波器的FFT运算是什么？

%求得Fourier变换复向FFT应用举例量一般用 ： 不属于 而是 维复空间， 都是复数后的振幅

通信—信号处理—傅里叶变换

%采样频率和数据点数

在通信系统中，提到傅里叶变换，常用来做信号分析。

1.是什么：一种积分计算，计2、FFT函数的实现意义：算公式见书。

在数字信号处理中，使用的是快速傅里叶变换（FFT），使用级数展开，使得计算变得简单。

2.作用：信号的时域与频域的变换，可用于分析信号的频率成分。一般来说，信号的周期性越明显，频谱上的离散性越明显。

3.在通信模型中的位置：

在接收端，解调时使用。

备注：

1.Y = fft(y,512); 数字通信的简化模型：

2.相关名词：

1）正弦波：

卷积积分，时域里的乘法运算，对应于频域里的卷积运算。《信号与系统》。其计算公示如下：

3.基础课程：1.信号与系统。2.数字信号处理。