向量基本运算公式：揭示向量的数学操作

向量在物理、工程和数学等领域扮演着至关重要的角色。理解向量的基本运算公式对于操纵和分析这些矢量量至关重要。本文概述了向量的加法、减法、数乘和点乘的基本公式。

向量基本运算公式：揭示向量的数学操作

向量加法和减法

向量的加法和减法通过逐元素运算来执行。给定两个向量 `a = (a₁, a₂, ..., an)` 和 `b = (b₁, b₂, ..., bn)`，它们的和和差分别定义为：

``` a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., an + bn) a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, ..., an - bn) ```

数乘

数乘将一个向量与一个标量（实数）相乘。给定一个向量 `a = (a₁, a₂, ..., an)` 和一个标量 `c`，它们的数乘定义为：

``` ca = (ca₁, ca₂, ..., can) ```

点乘

点乘是一种向量运算，计算两个向量的数量积。给定两个向量 `a = (a₁, a₂, ..., an)` 和 `b = (b₁, b₂, ..., bn)`，它们的点乘定义为：

``` a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + anbn ```

点乘得到一个标量，表示两个向量之间的夹角的余弦值。

格雷米-施密特正交化

格雷米-施密特正交化是一种将一堆向量正交化的过程，这意味着它们相互垂直。该方法使用以下公式：

``` u₁ = a₁, u₂ = a₂ - (a₂ · u₁)u₁ / (u₁ · u₁), ... un = an - (an · u₁)u₁ / (u₁ · u₁) - (an · u₂)u₂ / (u₂ · u₂) - ... - (an · un-1)un-1 / (un-1 · un-1) ```

其中 `a₁`, `a₂`, ..., `an` 是要正交化的向量，而 `u₁`, `u₂`, ..., `un` 是正交化后的向量。

应用

向量的基本运算公式在许多领域都有应用，包括：

力学：计算合力和扭矩 流体力学：求取流体流速和压力 电磁学：分析电磁场